我是这样理解 --SVM，不需要繁杂公式的那种！(附代码)

讲讲 SVM

1.1 一个关于 SVM 的童话故事

支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是众多监督学习方法中十分出色的一种，几乎所有讲述经典机器学习方法的教材都会介绍。关于 SVM，流传着一个关于天使与魔鬼的故事。

传说魔鬼和天使玩了一个游戏，魔鬼在桌上放了两种颜色的球。魔鬼让天使用一根木棍将它们分开。这对天使来说，似乎太容易了。天使不假思索地一摆，便完成了任务。魔鬼又加入了更多的球。随着球的增多，似乎有的球不能再被原来的木棍正确分开，如下图所示。

SVM 实际上是在为天使找到木棒的最佳放置位置，使得两边的球都离分隔它们的木棒足够远。依照 SVM 为天使选择的木棒位置，魔鬼即使按刚才的方式继续加入新球，木棒也能很好地将两类不同的球分开。

看到天使已经很好地解决了用木棒线性分球的问题，魔鬼又给了天使一个新的挑战，如下图所示。

按照这种球的摆法，世界上貌似没有一根木棒可以将它们完美分开。但天使毕竟有法力，他一拍桌子，便让这些球飞到了空中，然后凭借念力抓起一张纸片，插在了两类球的中间。从魔鬼的角度看这些球，则像是被一条曲线完美的切开了。

后来，“无聊” 的科学家们把这些球称为 “数据”，把木棍称为 “分类面”，找到最大间隔的木棒位置的过程称为 “优化”，拍桌子让球飞到空中的念力叫 “核映射”，在空中分隔球的纸片称为 “分类超平面”。这便是 SVM 的童话故事。

1.2 理解 SVM：第一层

支持向量机，因其英文名为 support vector machine，故一般简称 SVM，通俗来讲，它是一种二类分类模型，其基本模型定义为特征空间上的间隔最大的线性分类器，其学习策略便是间隔最大化，最终可转化为一个凸二次规划问题的求解。

线性分类器： 给定一些数据点，它们分别属于两个不同的类，现在要找到一个线性分类器把这些数据分成两类。如果用 x 表示数据点，用 y 表示类别（y 可以取 1 或者 0，分别代表两个不同的类），一个线性分类器的学习目标便是要在 n 维的数据空间中找到一个超平面（hyper plane），这个超平面的方程可以表示为（ wT 中的 T 代表转置）：

$w^Tx+b=0$

这里可以查看我之前的逻辑回归章节回顾：点击打开

这个超平面可以用分类函数 $f(x$ %3Dw%5ETx%2Bb>) 表示，当 f(x) 等于 0 的时候，x 便是位于超平面上的点，而 f(x) 大于 0 的点对应 y=1 的数据点，f(x) 小于 0 的点对应 y=-1 的点，如下图所示：

1.2.1 函数间隔与几何间隔

在超平面 wx+b=0 确定的情况下，|w_x+b | 能够表示点 x 到距离超平面的远近，而通过观察 w_x+b 的符号与类标记 y 的符号是否一致可判断分类是否正确，所以，可以用 (y(w*x+b)) 的正负性来判定或表示分类的正确性。于此，我们便引出了函数间隔（functional margin）的概念。

函数间隔公式： $\gamma=y(w^Tx+b)=yf(x)$

而超平面 (w，b) 关于数据集 T 中所有样本点 (xi，yi) 的函数间隔最小值（其中，x 是特征，y 是结果标签，i 表示第 i 个样本），便为超平面 (w, b) 关于训练数据集 T 的函数间隔：

$\gamma=min\gamma i(i=1,...n$ >)

但这样定义的函数间隔有问题，即如果成比例的改变 w 和 b（如将它们改成 2w 和 2b），则函数间隔的值 f(x) 却变成了原来的 2 倍（虽然此时超平面没有改变），所以只有函数间隔还远远不够。

几何间隔

事实上，我们可以对法向量 w 加些约束条件，从而引出真正定义点到超平面的距离 — 几何间隔（geometrical margin）的概念。假定对于一个点 x ，令其垂直投影到超平面上的对应点为 x0 ，w 是垂直于超平面的一个向量， $\gamma$ 为样本 x 到超平面的距离，如下图所示：

这里我直接给出几何间隔的公式，详细推到请查看博文：点击进入

几何间隔： $\gamma^{'}=\frac{\gamma}{||w||}$

从上述函数间隔和几何间隔的定义可以看出：几何间隔就是函数间隔除以 ||w||，而且函数间隔 y(wx+b) = yf(x) 实际上就是 | f(x)|，只是人为定义的一个间隔度量，而几何间隔 | f(x)|/||w|| 才是直观上的点到超平面的距离。

1.2.2 最大间隔分类器的定义

对一个数据点进行分类，当超平面离数据点的 “间隔” 越大，分类的确信度（confidence）也越大。所以，为了使得分类的确信度尽量高，需要让所选择的超平面能够最大化这个 “间隔” 值。这个间隔就是下图中的 Gap 的一半。

通过由前面的分析可知：函数间隔不适合用来最大化间隔值，因为在超平面固定以后，可以等比例地缩放 w 的长度和 b 的值，这样可以使得 $f(x$ %3Dw%5ETx%2Bb>) 的值任意大，亦即函数间隔可以在超平面保持不变的情况下被取得任意大。但几何间隔因为除上了，使得在缩放 w 和 b 的时候几何间隔的值是不会改变的，它只随着超平面的变动而变动，因此，这是更加合适的一个间隔。换言之，这里要找的最大间隔分类超平面中的 “间隔” 指的是几何间隔。

如下图所示，中间的实线便是寻找到的最优超平面（Optimal Hyper Plane），其到两条虚线边界的距离相等，这个距离便是几何间隔，两条虚线间隔边界之间的距离等于 2 倍几何间隔，而虚线间隔边界上的点则是支持向量。由于这些支持向量刚好在虚线间隔边界上，所以它们满足 $y(w_Tx+b$ %3D1>)，对于所有不是支持向量的点，则显然有 $y(w_Tx+b$ %3E1>)。

OK，到此为止，算是了解到了 SVM 的第一层，对于那些只关心怎么用 SVM 的朋友便已足够，不必再更进一层深究其更深的原理。

1.2.3 最大间隔损失函数 Hinge loss

SVM 求解使通过建立二次规划原始问题，引入拉格朗日乘子法，然后转换成对偶的形式去求解，这是一种理论非常充实的解法。这里换一种角度来思考，在机器学习领域，一般的做法是经验风险最小化（empirical risk minimization,ERM），即构建假设函数（Hypothesis）为输入输出间的映射，然后采用损失函数来衡量模型的优劣。求得使损失最小化的模型即为最优的假设函数，采用不同的损失函数也会得到不同的机器学习算法。SVM 采用的就是 Hinge Loss，用于 “最大间隔(max-margin)” 分类。

$L_i=\sum_{j\neq t_i}max(0,f(x_i,W$ j-(f(x_i%2CW)%7By_i%7D-%5Cbigtriangleup))>)

对于训练集中的第 i 个数据 xi
在 W 下会有一个得分结果向量 f(xi,W)
第 j 类的得分为我们记作 f(xi,W)j

要理解这个公式，首先先看下面这张图片：

在生活中我们都会认为没有威胁的才是最好的，比如拿成绩来说，自己考了第一名 99 分，而第二名紧随其后 98 分，那么就会有不安全的感觉，就会认为那家伙随时都有可能超过我。如果第二名是 85 分，那就会感觉安全多了，第二名需要花费很大的力气才能赶上自己。拿这个例子套到上面这幅图也是一样的。
上面这幅图 delta 左边的红点是一个安全警戒线，什么意思呢？也就是说预测错误得分超过这个安全警戒线就会得到一个惩罚权重，让这个预测错误值退回到安全警戒线以外，这样才能够保证预测正确的结果具有唯一性。
对应到公式中， $f(x_i,W$ _j>) 就是错误分类的得分。后面一项就是 正确得分 - delta = 安全警戒线值，两项的差代表的就是惩罚权重，越接近正确得分，权重越大。当错误得分在警戒线以外时，两项相减得到负数，那么损失函数的最大值是 0，也就是没有损失。
一直往复循环训练数据，直到最小化损失函数为止，也就找到了分类超平面。

1.3 深入 SVM：第二层

1.3.1 从线性可分到线性不可分

接着考虑之前得到的目标函数 (令函数间隔 = 1)：

$max\frac{1}{||w||}s.t.,y_i(w^Tx_i+b$ %5Cge1%2Ci%3D1%2C…%2Cn>)

转换为对偶问题，解释一下什么是对偶问题，对偶问题是实质相同但从不同角度提出不同提法的一对问题。

由于求 $\frac{1}{||w||}$ 的最大值相当于求 $\frac{1}{2}||w||^2$ 的最小值，所以上述目标函数等价于（w 由分母变成分子，从而也有原来的 max 问题变为 min 问题，很明显，两者问题等价）：

$min\frac{1}{2}||w||^2s.t.,y_i(w^Tx_i+b$ %5Cge1%2Ci%3D1%2C…%2Cn>)

因为现在的目标函数是二次的，约束条件是线性的，所以它是一个凸二次规划问题。这个问题可以用现成的 QP (Quadratic Programming) 优化包进行求解。一言以蔽之：在一定的约束条件下，目标最优，损失最小。

此外，由于这个问题的特殊结构，还可以通过拉格朗日对偶性（Lagrange Duality）变换到对偶变量 (dual variable) 的优化问题，即通过求解与原问题等价的对偶问题（dual problem）得到原始问题的最优解，这就是线性可分条件下支持向量机的对偶算法，这样做的优点在于：一者对偶问题往往更容易求解；二者可以自然的引入核函数，进而推广到非线性分类问题。

详细过程请参考文章末尾给出的参考链接。

1.3.2 核函数 Kernel

事实上，大部分时候数据并不是线性可分的，这个时候满足这样条件的超平面就根本不存在。在上文中，我们已经了解到了 SVM 处理线性可分的情况，那对于非线性的数据 SVM 咋处理呢？对于非线性的情况，SVM 的处理方法是选择一个核函数 κ(⋅,⋅) ，通过将数据映射到高维空间，来解决在原始空间中线性不可分的问题。

具体来说，在线性不可分的情况下，支持向量机首先在低维空间中完成计算，然后通过核函数将输入空间映射到高维特征空间，最终在高维特征空间中构造出最优分离超平面，从而把平面上本身不好分的非线性数据分开。如图所示，一堆数据在二维空间无法划分，从而映射到三维空间里划分：

通常人们会从一些常用的核函数中选择（根据问题和数据的不同，选择不同的参数，实际上就是得到了不同的核函数），例如：多项式核、高斯核、线性核。

读者可能还是没明白核函数到底是个什么东西？我再简要概括下，即以下三点：

实际中，我们会经常遇到线性不可分的样例，此时，我们的常用做法是把样例特征映射到高维空间中去 (映射到高维空间后，相关特征便被分开了，也就达到了分类的目的)；
但进一步，如果凡是遇到线性不可分的样例，一律映射到高维空间，那么这个维度大小是会高到可怕的。那咋办呢？
此时，核函数就隆重登场了，核函数的价值在于它虽然也是将特征进行从低维到高维的转换，但核函数绝就绝在它事先在低维上进行计算，而将实质上的分类效果表现在了高维上，避免了直接在高维空间中的复杂计算。

如果数据中出现了离群点 outliers，那么就可以使用松弛变量来解决。

1.3.3 总结

不准确的说，SVM 它本质上即是一个分类方法，用 w^T+b 定义分类函数，于是求 w、b，为寻最大间隔，引出 1/2||w||^2，继而引入拉格朗日因子，化为对拉格朗日乘子 a 的求解（求解过程中会涉及到一系列最优化或凸二次规划等问题），如此，求 w.b 与求 a 等价，而 a 的求解可以用一种快速学习算法 SMO，至于核函数，是为处理非线性情况，若直接映射到高维计算恐维度爆炸，故在低维计算，等效高维表现。

OK，理解到这第二层，已经能满足绝大部分人一窥 SVM 原理的好奇心，针对于面试来说已经足够了。

1.4 SVM 的应用

SVM 在很多诸如文本分类，图像分类，生物序列分析和生物数据挖掘，手写字符识别等领域有很多的应用，但或许你并没强烈的意识到，SVM 可以成功应用的领域远远超出现在已经在开发应用了的领域。

SVM 的一些问题

是否存在一组参数使 SVM 训练误差为 0？

答：存在
训练误差为 0 的 SVM 分类器一定存在吗？

答：一定存在
加入松弛变量的 SVM 的训练误差可以为 0 吗？

答：使用 SMO 算法训练的线性分类器并不一定能得到训练误差为 0 的模型。这是由于我们的优化目标改变了，并不再是使训练误差最小。
带核的 SVM 为什么能分类非线性问题？

答：核函数的本质是两个函数的內积，通过核函数将其隐射到高维空间，在高维空间非线性问题转化为线性问题, SVM 得到超平面是高维空间的线性分类平面。其分类结果也视为低维空间的非线性分类结果, 因而带核的 SVM 就能分类非线性问题。
如何选择核函数？
- 如果特征的数量大到和样本数量差不多，则选用 LR 或者线性核的 SVM；
- 如果特征的数量小，样本的数量正常，则选用 SVM + 高斯核函数；
- 如果特征的数量小，而样本的数量很大，则需要手工添加一些特征从而变成第一种情况。
LR 和 SVM 的联系与区别

3.1 相同点

都是线性分类器。本质上都是求一个最佳分类超平面。
都是监督学习算法。
都是判别模型。判别模型不关心数据是怎么生成的，它只关心信号之间的差别，然后用差别来简单对给定的一个信号进行分类。常见的判别模型有：KNN、SVM、LR，常见的生成模型有：朴素贝叶斯，隐马尔可夫模型。

3.2 不同点

LR 是参数模型，svm 是非参数模型，linear 和 rbf 则是针对数据线性可分和不可分的区别；
从目标函数来看，区别在于逻辑回归采用的是 logistical loss，SVM 采用的是 hinge loss，这两个损失函数的目的都是增加对分类影响较大的数据点的权重，减少与分类关系较小的数据点的权重。
SVM 的处理方法是只考虑 support vectors，也就是和分类最相关的少数点，去学习分类器。而逻辑回归通过非线性映射，大大减小了离分类平面较远的点的权重，相对提升了与分类最相关的数据点的权重。
逻辑回归相对来说模型更简单，好理解，特别是大规模线性分类时比较方便。而 SVM 的理解和优化相对来说复杂一些，SVM 转化为对偶问题后, 分类只需要计算与少数几个支持向量的距离, 这个在进行复杂核函数计算时优势很明显, 能够大大简化模型和计算。
logic 能做的 svm 能做，但可能在准确率上有问题，svm 能做的 logic 有的做不了。